ELEMENTOS DE MATEMÁTICA ACTUARIAL SOBRE PREVISIÓN SOCIAL Y SEGUROS DE VIDA
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I. ELEMENTOS BÁSICOS DE LA METODOLOGÍA ACTUARIAL
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5. TABLAS DE INVALIDEZ

5.2 Metodología aplicada al cálculo de las tasas de entrada en invalidez. Ajuste de una tabla por interpolación.

Se va a buscar una curva para ajustar a los datos de invalidez. Los cálculos se recogen en el archivo de Excel ‘interpolacion_invalidez_total.xls’. Disponemos de una serie temporal, de 1998-2002, del número de invalideces recogidas por tramo de edad. Pretendemos encontrar la curva de regresión que mejor se ajuste a los datos de partida. Para ello vamos a utilizar previamente el método de los mínimos cuadrados. Podemos encontrar en el anexo I, al final de este documento, la formalización de estos métodos de interpolación y ajuste.

Este método aplicado a una función cualquiera, no necesariamente lineal, pretendería encontrar una curva g(x) tal que se minimizara la suma de los residuos al cuadrado:

Donde el subíndice ‘i’ hace referencia a la edad y el ‘j’, a la observación correspondiente a la serie temporal. Un resultado conocido es que el mínimo se obtiene cuando g(xi) se toma como la media de la distribución condicionada: media(y| x=xi).

Con este objetivo, en la hoja ‘medias se han obtenido las medias de tasas de invalidez desde 1998 a 2002 para cada edad, tomando las marcas de clase de cada intervalo.

De esta forma, hemos obtenido una tabla donde tenemos 12 puntos (x,y) recogiendo la relación entre edad y tasa de invalidez total. Se trata ahora de buscar un polinomio de interpolación que pase por los citados puntos. El capítulo correspondiente a interpolación y ajuste se demuestra que siempre existe tal polinomio, que será de grado 11 y por tanto dependerá de 12 parámetros, y los distintos métodos para obtenerlos. En principio el más directo partiría de considerar el sistema resultante en forma matricial:

Y obtendríamos el vector de parámetros:

Pero al utilizar la hoja de cálculo para obtener la inversa de una matriz de 12x12 y cuyos elementos tienen muchos dígitos, tendríamos muchos errores de redondeo El resultado obtenido por este método se recoge en la hoja ‘matriz inversa.

En consecuencia, hemos escogido un método menos directo pero que soslaya los errores de redondeo. Se ha utilizado el método de aproximaciones sucesivas que, además aporta la ventaja que no hay que recalcular todos los coeficientes del polinomio si se añade una nueva observación. Básicamente se trata de obtener el polinomio de interpolación para el primer par de datos, a partir de éste buscaríamos el que se ajuste a los dos primeros pares, y así sucesivamente por recurrencia. Una vez obtenido Pk-1 (x), hallaríamos ak utilizando la fórmula de recurrencia:

En la página ‘polinomio se recogen los cálculos para los obtención del polinomio de interpolación por el método de aproximaciones sucesivas. En B18:B29 tenemos los 12 parámetros buscados. En C18:C29 obtenemos los valores que nos daría los polinomios de grado 0, 1, ... hasta el definitivo de grado 11 para una edad variable que podemos elegir introduciéndola en la celda D17. Vemos que si introducimos, por ejemplo, 42.5 (el sexto dato) sólo tendríamos un ajuste perfecto para los polinomios de grado igual o superior a 5. Si el dato que introducimos en esa celda es el último (72.5 años), el único polinomio que daría el ajuste correcto sería el definitivo (cuyos valores se recogen en la celda C29).

Por último, en la página ‘interpolación’ se da la tabla con las tasas obtenidas de invalidez total desde los 16 a los 80 años. Como era previsible, la función no es satisfactoria en los extremos, quedándonos con los datos centrales, en el tramo de edad 22-70 años, el relevante para el tema que nos ocupa de la invalidez.

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